Resolver a EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada:
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
.
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
e substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Então, as soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é uma função geral, vamos usar o método dos coeficientes indefinidos ou, de forma mais geral, o método de variação dos parâmetros.
Vamos optar pela variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes na solução homogênea
e
são, na verdade, funções de
:
e
.
A solução particular será então:
Para encontrar
e
, derivamos
e substituímos na equação original. Após alguns cálculos, chegamos à expressão:
Passo 4
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes de integração que podem ser determinadas com condições iniciais.
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e
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e
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