Resolver a EDO .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada: . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta a função .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: .
Para isso, assumimos que a solução tem a forma e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Então, as soluções da equação homogênea são e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como é uma função geral, vamos usar o método dos coeficientes indefinidos ou, de forma mais geral, o método de variação dos parâmetros.
Vamos optar pela variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes na solução homogênea e são, na verdade, funções de : e .
A solução particular será então:
Para encontrar e , derivamos e substituímos na equação original. Após alguns cálculos, chegamos à expressão:

Passo 4

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração que podem ser determinadas com condições iniciais.

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