Resolver a EDO
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você passou:
, com as condições iniciais
e
.
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
.
A equação característica é:
.
Resolvendo para
, temos:
.
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Repare que o lado direito da equação (
) já aparece na solução homogênea. Nesse caso, usamos o método do coeficiente indeterminado e multiplicamos por
para evitar a duplicação das soluções.
Então, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Então:
Simplificando, os termos com
se cancelam:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Então,
.
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada :
Primeiro, encontramos a derivada
Com
:
Igualando a 1:
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução da EDO é:
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, com
.
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com
e
.