Resolver a EDO , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você passou: , com as condições iniciais e .
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: .
A equação característica é: .
Resolvendo para , temos: .
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Repare que o lado direito da equação ( ) já aparece na solução homogênea. Nesse caso, usamos o método do coeficiente indeterminado e multiplicamos por para evitar a duplicação das soluções.
Então, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Então:
Simplificando, os termos com se cancelam:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:

Passo 6

Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Então, .
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada :
Com :
Igualando a 1:

Passo 9

Substituindo e na solução geral:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução da EDO é:

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