Resolver o sistema de EDOs

Passo 1

Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) dado por:
Neste exercício, vamos trabalhar com sistemas de EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de substituição e fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das derivadas para facilitar a resolução. Observando a segunda equação:
Podemos isolar :

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de na primeira equação do sistema:
Simplificando os termos:

Passo 4

Rearranjando os termos para isolar :

Passo 5

Agora, temos uma expressão para em termos de e . Vamos substituir essa expressão na segunda equação original para eliminar :
Simplificando:

Passo 6

Isolando :
Agora, temos duas equações:

Passo 7

Vamos agora expressar o sistema em forma matricial para facilitar a resolução:

[



+

]

Passo 8

Para resolver esse sistema, vamos primeiro encontrar as soluções da equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma .

Passo 9

Encontramos os valores próprios ( ) resolvendo o determinante:

Passo 10

Com , as soluções da homogênea são:
(Nota: Para soluções repetidas, a segunda solução envolve multiplicação por .)

Passo 11

Agora, encontramos a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Supomos formas para e baseadas nos termos do lado direito e .

Passo 12

Após calcular, combinamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral do sistema:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

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