Resolver o sistema de EDOs
Passo 1
Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) dado por:
Neste exercício, vamos trabalhar com sistemas de EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de substituição e fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar uma das derivadas para facilitar a resolução. Observando a segunda equação:
Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na primeira equação do sistema:
Simplificando os termos:
Passo 4
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 5
Agora, temos uma expressão para
em termos de
e
. Vamos substituir essa expressão na segunda equação original para eliminar
:
Simplificando:
Passo 6
Isolando
:
Agora, temos duas equações:
Passo 7
Vamos agora expressar o sistema em forma matricial para facilitar a resolução:
[
+
]
Passo 8
Para resolver esse sistema, vamos primeiro encontrar as soluções da equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
.
Passo 9
Encontramos os valores próprios (
) resolvendo o determinante:
Passo 10
Com
, as soluções da homogênea são:
(Nota: Para soluções repetidas, a segunda solução envolve multiplicação por
.)
Passo 11
Agora, encontramos a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Supomos formas para
e
baseadas nos termos do lado direito
e
.
Passo 12
Após calcular, combinamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral do sistema:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.
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com
e
.
Resolver a EDO
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com
e
.