Resolver o sistema
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares e aplicar a transformada de Laplace para facilitar os cálculos. Basicamente, vamos encontrar as funções
e
que satisfazem as equações e as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de s, onde elas se tornam mais fáceis de resolver.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação
:
Sabemos que:
Com as condições iniciais
e
, substituímos:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada de Laplace na segunda equação
:
Sabemos que:
Com as condições iniciais
e
, e
, substituímos:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas
e
:
Vamos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação.
Passo 6
Vamos resolver o sistema pelo método da substituição. Primeiro, isolamos
na primeira equação:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão de
na segunda equação:
Simplificando essa equação para encontrar
.
Passo 8
Após simplificar, obtemos
em termos de
. Depois de encontrar
, substituímos de volta na expressão de
para encontrar
.
Passo 9
Com
e
encontrados no domínio de Laplace, aplicamos a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar
e
.
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Resolver a EDO
.
Resolver a EDO
, com
e
.
Resolver o sistema de EDOs
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com
e
.