Resolver o sistema com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares e aplicar a transformada de Laplace para facilitar os cálculos. Basicamente, vamos encontrar as funções e que satisfazem as equações e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio de s, onde elas se tornam mais fáceis de resolver.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação :
Sabemos que:
Com as condições iniciais e , substituímos:

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada de Laplace na segunda equação :
Sabemos que:
Com as condições iniciais e , e , substituímos:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações algébricas com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação.

Passo 6

Vamos resolver o sistema pelo método da substituição. Primeiro, isolamos na primeira equação:

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação:
Simplificando essa equação para encontrar .

Passo 8

Após simplificar, obtemos em termos de . Depois de encontrar , substituímos de volta na expressão de para encontrar .

Passo 9

Com e encontrados no domínio de Laplace, aplicamos a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar e .

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Resolver a EDO .
Resolver a EDO , com e .
Resolver o sistema de EDOs
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com e .