Resolver a EDO
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral dessa equação usando os métodos de solução para a parte homogênea e para a parte particular. Também vamos aplicar as condições iniciais
e
para determinar as constantes da nossa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
e encontramos o polinômio característico:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são complexas e a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para a constante 1 e outra para
.
Parte 1: Para o termo constante 1
Assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante.
Derivando, temos
e
.
Substituindo na equação:
Então,
.
Parte 2: Para o termo
Assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante.
Derivando, temos
e
.
Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 4
A solução particular total é a soma das duas partes que encontramos:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condi��ões iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos derivar
:
Avaliando em
:
Substituindo
Passo 7
Com as constantes encontradas, a solução final é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, com as condições iniciais
e
, é:
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