Resolver a EDO , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral dessa equação usando os métodos de solução para a parte homogênea e para a parte particular. Também vamos aplicar as condições iniciais e para determinar as constantes da nossa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma e encontramos o polinômio característico:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são complexas e a solução geral da parte homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para a constante 1 e outra para .
Parte 1: Para o termo constante 1
Assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante.
Derivando, temos e .
Substituindo na equação:
Então, .
Parte 2: Para o termo
Assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante.
Derivando, temos e .
Substituindo na equação:
Então, .

Passo 4

A solução particular total é a soma das duas partes que encontramos:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condi��ões iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Segundo, . Vamos derivar :
Avaliando em :

Substituindo :

Passo 7

Com as constantes encontradas, a solução final é:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, com as condições iniciais e , é:

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