Resolver a EDO y'' - 6y' + 9y = t^2 e^(3t), com y(0) = 2 e y'(0) = 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é , com as condições iniciais e . A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Encontramos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito da equação é e já faz parte da solução homogênea, devemos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Assim, supomos que:
Onde , e são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para , e . Isso envolve igualar os coeficientes dos termos , e .

Passo 6

Após resolvermos o sistema de equações obtido, encontramos os valores de , e . Supondo que:
Então, a solução particular fica:

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para , calculamos a derivada de e substituímos :
Após simplificação, encontramos .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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