Resolver a EDO
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
, com as condições iniciais
e
. A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Encontramos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito da equação é
e
já faz parte da solução homogênea, devemos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicidade. Assim, supomos que:
Onde
,
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para
,
e
. Isso envolve igualar os coeficientes dos termos
,
e
.
Passo 6
Após resolvermos o sistema de equações obtido, encontramos os valores de
,
e
. Supondo que:
Então, a solução particular fica:
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, calculamos a derivada de
e substituímos
:
Após simplificação, encontramos
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: