Resolver o sistema com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais pra resolver:
E as condições iniciais são: , e .
Vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas de equações diferenciais, como substituição e resolução de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra segunda equação do sistema:
Isso significa que a soma das derivadas de e é zero. Podemos rearranjar essa equação para expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar em termos de . Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial e :
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na primeira equação do sistema:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Integrando uma vez em relação a :
E integrando novamente:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que:
Primeiro, para :
Segundo, para :
Então, a solução para é:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que encontramos antes:

Resposta

A solução do sistema é:

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