Resolver o sistema
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais pra resolver:
E as condições iniciais são:
,
e
.
Vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas de equações diferenciais, como substituição e resolução de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra segunda equação do sistema:
Isso significa que a soma das derivadas de
e
é zero. Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar
em termos de
. Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
e
:
Então, temos:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na primeira equação do sistema:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Integrando uma vez em relação a
:
E integrando novamente:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Então, a solução para
é:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão que encontramos antes:
Resposta
A solução do sistema é:
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, onde
com
e
.
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com
e
.