Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial com derivadas até a terceira ordem: . Queremos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace. Pra isso, vamos precisar aplicar a transformada nas derivadas de
e nas funções envolvidas, e usar as condições iniciais:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada da derivada de ordem
de
é
. Vamos transformar cada termo:
Passo 3
Substituindo as transformadas na equação original e usando as condições iniciais
,
e
:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando
:
Então:
Passo 5
Isolando
:
Vamos simplificar o denominador
. Vamos fatorar:
Então:
Passo 6
Vamos combinar os termos do numerador:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos decompor
em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Vamos expressar
como:
Resolvendo para
,
,
,
e
, encontramos os valores que satisfazem a equação.
Passo 8
Após encontrar os valores de
,
,
,
e
, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separado para obter
. Isso envolve reconhecer as formas padrão de transformadas conhecidas, como exponenciais e senos.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com
e
.
Resolver a EDO
, com
.
Resolver a EDO
, com
e
.