Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
y''' + 2y'' - y' - 2y = sen(3t), com y(0) = 0, y'(0) = 0 e y''(0) = 1.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial com derivadas até a terceira ordem: . Queremos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace. Pra isso, vamos precisar aplicar a transformada nas derivadas de e nas funções envolvidas, e usar as condições iniciais: , e .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada da derivada de ordem de é . Vamos transformar cada termo:

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação original e usando as condições iniciais , e :
Simplificando:

Passo 4

Fatorando :
Então:

Passo 5

Isolando :
Vamos simplificar o denominador . Vamos fatorar:
Então:

Passo 6

Vamos combinar os termos do numerador:
Então:

Passo 7

Agora, precisamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Vamos expressar como:
Resolvendo para , , , e , encontramos os valores que satisfazem a equação.

Passo 8

Após encontrar os valores de , , , e , aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separado para obter . Isso envolve reconhecer as formas padrão de transformadas conhecidas, como exponenciais e senos.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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