Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de segunda ordem e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos transformar a EDO para o domínio de Laplace, resolver algébrica e depois aplicar a Transformada Inversa para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
- A Transformada de
é . - A Transformada de
é .
Como os valores iniciais são zero (
e
), simplificamos para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito,
. Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação transformada, temos:
Fatorando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então:
Para achar a Transformada Inversa, vamos fazer uma fração parcial:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos encontrar os valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resolvendo as equações
e
:
Subtraindo as equações:
Então, temos:
Passo 7
Substituindo os valores na fração parcial:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
Juntando tudo, a solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com
e
.
Resolver o sistema de EDOs
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Resolver a EDO
, com
.