Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
senht, com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de segunda ordem e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos transformar a EDO para o domínio de Laplace, resolver algébrica e depois aplicar a Transformada Inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de é .
  • A Transformada de é .
Como os valores iniciais são zero ( e ), simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace do lado direito, . Sabemos que:
Aqui, e , então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação transformada, temos:
Fatorando :
Então:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador:
Então:
Para achar a Transformada Inversa, vamos fazer uma fração parcial:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por :
Vamos encontrar os valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Resolvendo as equações e :
Subtraindo as equações:
Então, temos:

Passo 7

Substituindo os valores na fração parcial:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

Juntando tudo, a solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
cost, com e .
Resolver o sistema de EDOs
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .
Resolver a EDO , com .