Resolver as EDO d y/d x - y/x = x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por:
Este exercício envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar o método do Fator Integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
vemos que:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o Fator Integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso ocorre porque:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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