Resolver as seguintes EDO
Solução Geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo primeira ordem:
Para resolver essa EDO, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma equação estática de forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a EDO é exata. Isso facilita bastante a solução!
Passo 3
Agora que sabemos que a EDO é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Então, a função
fica:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.