Resolver as seguintes EDO 4 x y^2 dx + (x^2 + 1) dy = 0 PVI: y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que está nessa receita aqui: com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais e, mais especificamente, a técnica de identificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar entender conceitos básicos de derivadas parciais e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se . Aqui, e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que depende apenas de ou de . Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, . Para isso, usamos a relação:
Se isso for uma função de apenas, então podemos integrá-la para encontrar .

Passo 5

Simplificando a expressão:
Vemos que ainda tem na expressão, o que indica que um fator que depende apenas de não funcionará. Vamos tentar um fator que depende de , ou seja, .

Passo 6

Usamos a relação para :
Como isso depende apenas de , podemos integrar para encontrar .

Passo 7

Integrando:
Portanto, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 9

Agora, sabemos que existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 10

Derivando em relação a e igualando a com :
Simplificando:
Isso implica que:
Integrando :
Essa integral pode ser resolvida por substituição , mas para simplificar, vamos considerar que já foi integrada.

Passo 11

Assim, a solução geral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Aplicando a condição inicial :
Simplificando:
Então, .

Resposta

A solução da EDO com a condição inicial é:

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