Resolver as seguintes EDO
PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que está nessa receita aqui:
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais e, mais especificamente, a técnica de identificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar entender conceitos básicos de derivadas parciais e integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se
. Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
. Para isso, usamos a relação:
Se isso for uma função de
apenas, então podemos integrá-la para encontrar
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Vemos que ainda tem
na expressão, o que indica que um fator que depende apenas de
não funcionará. Vamos tentar um fator que depende de
, ou seja,
.
Passo 6
Usamos a relação para
:
Como isso depende apenas de
, podemos integrar para encontrar
.
Passo 7
Integrando:
Portanto, o fator integrante é
.
Passo 8
Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 9
Agora, sabemos que existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 10
Derivando
em relação a
e igualando a
com
:
Simplificando:
Isso implica que:
Integrando
:
Essa integral pode ser resolvida por substituição
, mas para simplificar, vamos considerar que já foi integrada.
Passo 11
Assim, a solução geral é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Aplicando a condição inicial
:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da EDO com a condição inicial
é: