Sem resolver a equação diferencial y' = sen(y), faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial e precisamos:
  • Fazer um esboço das soluções dessa equação.
  • Encontrar as soluções de equilíbrio.
  • Dizer se cada equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma solução de equilíbrio. É uma constante que satisfaz a equação diferencial, ou seja, onde . Então, vamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 3

Calculando , sabemos que isso acontece quando , onde é um número inteiro. Portanto, as soluções de equilíbrio são para qualquer inteiro .

Passo 4

Agora, vamos verificar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso, analisamos a derivada da função que define . No nosso caso, , então sua derivada é .

Passo 5

Avaliar nos pontos de equilíbrio :

  • Isso significa que:
  • Se for par, (positivo).
  • Se for ímpar, (negativo).

Passo 6

A estabilidade é determinada pelo sinal de :
  • Se , o equilíbrio é estável.
  • Se , o equilíbrio é instável.
  • Se , precisaríamos de uma análise mais detalhada (semi-estável).
Então:
  • Para par: ⇒ Instável.
  • Para ímpar: ⇒ Estável.

Passo 7

Agora, vamos fazer um esboço das soluções. Em um gráfico de versus , os equilíbrios serão linhas horizontais. As soluções próximas aos pontos estáveis vão se aproximar dessas linhas à medida que aumenta, enquanto as soluções próximas aos pontos instáveis vão se afastar.

Resposta

As soluções de equilíbrio são para todo inteiro . Para cada :
  • Se for par, o equilíbrio é instável.
  • Se for ímpar, o equilíbrio é estável.

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