Sem resolver a equação diferencial
, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
e precisamos:
- Fazer um esboço das soluções dessa equação.
- Encontrar as soluções de equilíbrio.
- Dizer se cada equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma solução de equilíbrio. É uma constante
que satisfaz a equação diferencial, ou seja, onde
. Então, vamos encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 3
Calculando
, sabemos que isso acontece quando
, onde
é um número inteiro. Portanto, as soluções de equilíbrio são
para qualquer inteiro
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso, analisamos a derivada da função que define
. No nosso caso,
, então sua derivada é
.
Passo 5
Avaliar
nos pontos de equilíbrio
:
-
Isso significa que: - Se
for par, (positivo). - Se
for ímpar, (negativo).
Passo 6
A estabilidade é determinada pelo sinal de
:
- Se
, o equilíbrio é estável. - Se
, o equilíbrio é instável. - Se
, precisaríamos de uma análise mais detalhada (semi-estável).
Então:
- Para
par: ⇒ Instável. - Para
ímpar: ⇒ Estável.
Passo 7
Agora, vamos fazer um esboço das soluções. Em um gráfico de
versus
, os equilíbrios
serão linhas horizontais. As soluções próximas aos pontos estáveis vão se aproximar dessas linhas à medida que
aumenta, enquanto as soluções próximas aos pontos instáveis vão se afastar.
Resposta
As soluções de equilíbrio são
para todo inteiro
. Para cada
:
- Se
for par, o equilíbrio é instável. - Se
for ímpar, o equilíbrio é estável.
Exercícios relacionados
Seja
a população de camarões na lagoa dos Patos, supondo que os camarões são capturados a uma taxa constante
camarões por semana e a população satisfaz a equação logística
onde
e
.
Prove que se a população inicial é menor que , os camarões se extingem em um tempo finito, porém se
a população tende a
quando
cresce.
Prove que se a população inicial é menor que
Resolva
Suponha que a superfície
e a curva
satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes no espaço. Dadas as funções suaves
, demonstre que
Em seguida, conclua que
Sugestão: Inicialmente, prove que para todo campo vetorial suave
, vale a identidade
.
Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.