Seja
, com
. Se
e a medida do ângulo entre
e
é
radianos, determine
para que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas vetores,
e
, com magnitudes conhecidas e o ângulo entre eles. Queremos encontrar o valor de
que faz com que o vetor resultante da combinação cruzada
tenha comprimento igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto vetorial e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial (representado pelo símbolo
). O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é dada por:
onde
é o ângulo entre
e
. No nosso caso, queremos que a magnitude do vetor resultante seja 1.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Para facilitar, vamos expandir esse produto usando a distributividade do produto vetorial:
Passo 4
Simplificando cada termo:
-
(pois o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero). -
permanece. -
(usamos a propriedade que ). -
(mesmo motivo do primeiro termo).
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos a magnitude de
ser igual a 1:
Então:
Passo 6
Vamos encontrar
. Usando a fórmula do produto vetorial:
Sabemos que
,
e
. Então:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Para resolver a equação com valor absoluto, temos duas possibilidades:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Agora, a segunda equação:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição
são
e
.