Seja v=(a+alpha b) wed>=(2 a+b), com alpha in R. Se |a|=raiz2,|b|=1 e a medida do ângulo entre a e b é 3 pi4 radianos, determine alpha para que |v|=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas vetores, a e b, com magnitudes conhecidas e o ângulo entre eles. Queremos encontrar o valor de alpha que faz com que o vetor resultante da combinação cruzada (a + alpha b) wed>= (2a + b) tenha comprimento igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto vetorial e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial (representado pelo símbolo wed>=). O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é dada por:
|u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
onde theta é o ângulo entre u e v. No nosso caso, queremos que a magnitude do vetor resultante seja 1.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v = (a + alpha b) wed>= (2a + b). Para facilitar, vamos expandir esse produto usando a distributividade do produto vetorial:
v = a wed>= 2a + a wed>= b + alpha b wed>= 2a + alpha b wed>= b

Passo 4

Simplificando cada termo:
  • a wed>= 2a = 2 (a wed>= a) = 0 (pois o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero).
  • a wed>= b permanece.
  • alpha b wed>= 2a = 2alpha (b wed>= a) = -2alpha (a wed>= b) (usamos a propriedade que u wed>= v = -v wed>= u).
  • alpha b wed>= b = 0 (mesmo motivo do primeiro termo).
Então, temos:
v = a wed>= b - 2alpha (a wed>= b) = (1 - 2alpha)(a wed>= b)

Passo 5

Agora, queremos a magnitude de v ser igual a 1:
|v| = | (1 - 2alpha)(a wed>= b) | = |1 - 2alpha| cdot |a wed>= b| = 1
Então:
|1 - 2alpha| cdot |a wed>= b| = 1

Passo 6

Vamos encontrar |a wed>= b|. Usando a fórmula do produto vetorial:
|a wed>= b| = |a| cdot |b| cdot sin(3pi4)
Sabemos que |a| = raiz2, |b| = 1 e sin(3pi4) = raiz22. Então:
|a wed>= b| = raiz2 cdot 1 cdot raiz22 = 1

Passo 7

Voltando à equação anterior:
|1 - 2alpha| cdot 1 = 1 implies |1 - 2alpha| = 1
Para resolver a equação com valor absoluto, temos duas possibilidades:
  1. 1 - 2alpha = 1
  2. 1 - 2alpha = -1

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
1 - 2alpha = 1 implies -2alpha = 0 implies alpha = 0
Agora, a segunda equação:
1 - 2alpha = -1 implies -2alpha = -2 implies alpha = 1

Resposta

Os valores de alpha que satisfazem a condição |v| = 1 são alpha = 0 e alpha = 1.

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