Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O objetivo é resolver essa equação usando uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a equação através de uma substituição que torne a resolução mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma combinação que aparece em ambos os termos da equação. Observando os coeficientes de e , vemos que aparece em ambos. Isso sugere que podemos definir uma nova variável que capture essa combinação.
Vamos definir:
Essa será nossa nova coordenada, que vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a equação diferencial em termos de . Para isso, vamos calcular a diferença infinitesimal de :
Isso relaciona as variações de com as variações de e .

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Queremos expressar em termos de e . A partir da expressão de :
Substituindo na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos de e :
Simplificando os coeficientes:
Então, a equação fica:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar em termos de .

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Ou, reorganizando:
Onde é a constante de integração. Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial dada.

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(Uma trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de .)
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(O número de pessoas , em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato $$
N(t)=\frac{84}{1+2799 e^{-t}}$$
Quanto tempo falta para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato?