Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
O objetivo é resolver essa equação usando uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a equação através de uma substituição que torne a resolução mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma combinação que aparece em ambos os termos da equação. Observando os coeficientes de
e
, vemos que
aparece em ambos. Isso sugere que podemos definir uma nova variável que capture essa combinação.
Vamos definir:
Essa será nossa nova coordenada, que vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a equação diferencial em termos de
. Para isso, vamos calcular a diferença infinitesimal de
:
Isso relaciona as variações de
com as variações de
e
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Queremos expressar
em termos de
e
. A partir da expressão de
:
Substituindo
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando os coeficientes:
Então, a equação fica:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, reorganizando:
Onde
é a constante de integração. Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial dada.
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Resolva as equaçōes:
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(Uma trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de
a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de
.)
Qual foi a depreciação percentual depois de 3 anos?
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(O número de pessoas
, em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato $$
N(t)=\frac{84}{1+2799 e^{-t}}$$
Quanto tempo falta para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato?
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