Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos a forma de uma solução particular para a seguinte equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a achar uma solução específica para a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o lado direito):
Para isso, montamos o polinômio característico:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes
:
Então, as raízes são complexas:
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Agora, vamos para a solução particular. O lado direito da equação é
. Perceba que
já está na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por
para evitar duplicação.
Então, a forma da solução particular será:
Aqui,
e
são coeficientes que seriam determinados, mas como o enunciado pede apenas a forma, não precisamos calcular eles.
Resposta
A forma da solução particular é:
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.
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