Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem que permite redução de ordem:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada redução de ordem, que simplifica a equação transformando-a em uma de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Isso significa que a primeira derivada de
em relação a
é
. Agora, a segunda derivada
pode ser escrita em termos de
como:
Aqui, usamos a regra da cadeia para expressar
em função de
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, temos:
Agora, dividimos todos os termos por
para simplificar:
Passo 4
Essa equação ainda está complicada para resolver diretamente. Vamos fazer outra substituição para torná-la linear. Definimos:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da Passo 3 na equação acima:
Mas lembra que
, então:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Então,
Passo 10
Para encontrar
em termos de
, separamos as variáveis:
Essa integral pode ser complexa e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, então a solução pode ser expressa de forma implícita.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
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.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da funcảo em relação a cada variável.
Para as seguintes equações diferenciais, escreva apenas a forma de uma solução particular sem encontrar os próprios coeficientes incognitos.
Verifique se as funções são linearmente dependentes?