Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem que permite redução de ordem:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada redução de ordem, que simplifica a equação transformando-a em uma de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Isso significa que a primeira derivada de em relação a é . Agora, a segunda derivada pode ser escrita em termos de como:
Aqui, usamos a regra da cadeia para expressar em função de e .

Passo 3

Substituindo e na equação original, temos:
Agora, dividimos todos os termos por para simplificar:

Passo 4

Essa equação ainda está complicada para resolver diretamente. Vamos fazer outra substituição para torná-la linear. Definimos:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Substituindo da Passo 3 na equação acima:
Mas lembra que , então:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Então,

Passo 10

Para encontrar em termos de , separamos as variáveis:
Essa integral pode ser complexa e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, então a solução pode ser expressa de forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde e são constantes de integração.

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.
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