Resolver por escalonamento a sistemas:
lx+2 y+z=4 3 x-2 y+z=2 4 x+3 y-2 z=5 ; R:(1,1,1). Compatível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento. O sistema que temos é:
x + 2y + z = 4 3x - 2y + z = 2 4x + 3y - 2z = 5
O que precisamos fazer é organizar essas equações de maneira que consigamos eliminar uma variável de cada vez, facilitando assim a resolução. Para isso, vamos usar operações básicas de linhas, como multiplicar uma equação por um número ou somar duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis das primeiras duas equações. Vamos começar eliminando o x + 2y + z = 4 (Equação 1) . Para isso, precisamos que os coeficientes de 3x - 2y + z = 2 (Equação 2) sejam iguais nas duas equações.
A primeira equação é:
(x + 2y + z) + (3x - 2y + z) = 4 + 2 çã
E a segunda equação é:
4x + 2z = 6 (Equação 4) çã
Perceba que os coeficientes de são e . Se somarmos as duas equações, o vai desaparecer:
çã

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a Equação 1 e a Equação 3 para eliminar também o 4x + 3y - 2z = 5 (Equação 3) . A Equação 3 é:
3(x + 2y + z) = 3(4) çã
Queremos eliminar o 3x + 6y + 3z = 12 (Equação 5) novamente. Da Equação 1, temos 2(4x + 3y - 2z) = 2(5) . Vamos multiplicar a Equação 1 por 8x + 6y - 4z = 10 (Equação 6) para ter (8x + 6y - 4z) - (3x + 6y + 3z) = 10 - 12 :
5x - 7z = -2 (Equação 7)
çã
E multiplicar a Equação 3 por :
çã
Agora, subtraímos a Equação 5 da Equação 6 para eliminar o :
çã

Passo 4

Agora, temos duas equações com duas variáveis:
4x + 2z = 6 (Equação 4) çã
5x - 7z = -2 (Equação 7) çã
Vamos resolver esse sistema para encontrar 4x + 2z = 6 e 4x = 6 - 2z .
Primeiro, vamos isolar x = 6 - 2z4 na Equação 4:
x = 3 - z2 (Equação 8)
çã

Passo 5

Agora, substituímos a expressão de 5x - 7z = -2 da Equação 8 na Equação 7:
5( 3 - z2 ) - 7z = -2
15 - 5z2 - 7z = -2
15 - 5z - 14z = -4
Vamos multiplicar toda a equação por 15 - 19z = -4 para eliminar o denominador:
-19z = -4 - 15
-19z = -19
z = 1

Passo 6

Com o valor de x = 3 - z2 = 3 - 12 = 22 = 1 encontrado, vamos substituir na Equação 8 para encontrar :

Passo 7

Agora que temos x + 2y + z = 4 e 1 + 2y + 1 = 4 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar 2y + 2 = 4 :
2y = 4 - 2
2y = 2
y = 1

Resposta

A solução do sistema é , e .

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