Balanceamento de equações de reações químicas: Dada a equação química: (x1) CO+(x2) CO2+(x3) H2 (x4) CH4+(x5) H2 O, determinar os números inteiros e positivos x1, x2, x3, x4 e x5 que conduzam ao balanceamento desta equação química. Observação: o sistema linear obtido será indeterminado, o que se pede é a menor solução inteira positiva.
R: x1=1, x2=1, x3=7, x4=2 e x5=3.

Passo 1

Beleza, vamos balancear essa equação química juntos! O que a gente tem aqui é uma reação onde o monóxido de carbono ( ), dióxido de carbono ( ) e gás hidrogênio ( ) reagem para formar metano ( ) e água ( ). Nosso objetivo é encontrar os números e que fazem a quantidade de cada átomo ser a mesma nos dois lados da seta. Para isso, vamos precisar usar a teoria de balanceamento de equações químicas e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos átomos de cada elemento temos em cada parte da equação. Isso ajuda a garantir que cada elemento está equilibrado.
  • Carbono ©:
    • Lado esquerdo: de + de =
    • Lado direito: de =
  • Oxigênio (O):
    • Lado esquerdo: de = (cada tem 2 O)
    • Lado direito: de =
  • Hidrogênio (H):
    • Lado esquerdo: de = (cada tem 2 H)
    • Lado direito: de tem 4 H + de tem 2 H =

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações com base no que identificamos:
  1. Carbono: x1 + x2 = x4
  2. Oxigênio: 2x2 = x5
  3. Hidrogênio: 2x3 = 4x4 + 2x5

Passo 4

Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução:
Da segunda equação:
x5 = 2x2
Da terceira equação, podemos dividir todos os termos por 2:
x3 = 2x4 + x5
Substituindo x3 = 2x4 + 2x2 na equação:

Passo 5

Agora, temos duas equações principais:
  1. 1 + x2 = x4 implies x4 = x2 + 1
Podemos atribuir valores a uma das variáveis para encontrar soluções inteiras. Como o sistema é indeterminado, há infinitas soluções, mas queremos a menor solução inteira positiva.
Vamos escolher (o menor número inteiro positivo possível).
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos usar x3 = 2(x2 + 1) + 2x2 = 2x2 + 2 + 2x2 = 4x2 + 2 na segunda equação:
x4 = 1 + 1 = 2
Para manter os números pequenos, vamos tentar x3 = 4(1) + 2 = 6 :
x3 = 6 (2x3 = 12 H no lado esquerdo)
4x4 + 2x5 = 4(2) + 2(2) = 8 + 4 = 12 H no lado direito
Mas precisamos verificar se isso equilibra a hidrogênio corretamente. Vamos verificar:
Tudo está equilibrado!

Resposta

, , , e .

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