Resolver por escalonamento a sistemas:
lx+y+z+t=2 2 x-y+3 t=1 3 x+y-z+2 t=4 4 x+3 y-2 z+4 t=8 ; R:(58, 54,-524, 13). Compatível e determinado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss) para resolver sistemas lineares. Pra isso, vamos precisar organizar essas equações em uma matriz ampliada e fazer umas manobras de linha para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz ampliada. Isso ajuda a visualizar melhor e facilita o processo de escalonamento. A matriz vai incluir os coeficientes das variáveis e os resultados das equações:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 2 & -1 & 0 & 3 & | & 1 3 & 1 & -1 & 2 & | & 4 4 & 3 & -2 & 4 & | & 8

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde abaixo da diagonal principal (da esquerda para a direita) tenham só zeros. Começamos pela primeira coluna.
Primeiro, garantimos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está ok. Então, vamos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & -3 & -2 & 1 & | & -3 0 & -2 & -4 & -1 & | & -2 0 & -1 & -6 & 0 & | & 0

Passo 4

Seguimos para a segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Atualmente, ele é -3. Então, vamos dividir toda a Linha 2 por -3:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 0 & 1 & 23 & -13 & | & 1 0 & -2 & -4 & -1 & | & -2 0 & -1 & -6 & 0 & | & 0
Agora, vamos zerar os elementos abaixo e acima desse 1 na segunda coluna:
  • Linha 1: Subtraímos a Linha 2 da Linha 1.
  • Linha 3: Adicionamos 2 vezes a Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Adicionamos a Linha 2 à Linha 4.
A matriz atualizada fica:
1 & 0 & 13 & 43 & | & 1 0 & 1 & 23 & -13 & | & 1 0 & 0 & -83 & -53 & | & 0 0 & 0 & -163 & -13 & | & 1

Passo 5

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Atualmente, ele é 1 & 0 & 13 & 43 & | & 1 0 & 1 & 23 & -13 & | & 1 0 & 0 & 1 & 58 & | & 0 0 & 0 & -163 & -13 & | & 1 . Então, vamos multiplicar a Linha 3 por 1 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & -1 & | & 1 0 & 0 & 1 & 58 & | & 0 0 & 0 & 0 & 3 & | & 1 :
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na terceira coluna:
  • Linha 1: Subtraímos vezes a Linha 3 da Linha 1.
  • Linha 2: Subtraímos vezes a Linha 3 da Linha 2.
  • Linha 4: Adicionamos vezes a Linha 3 à Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos que o quarto elemento da quarta linha seja 1. Atualmente, ele é 3. Então, vamos dividir a Linha 4 por 3:
1 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 1 & 0 & -1 & | & 1 0 & 0 & 1 & 58 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13
Agora, vamos zerar os elementos acima desse 1 na quarta coluna:
  • Linha 1: Subtraímos a Linha 4 da Linha 1.
  • Linha 2: Adicionamos a Linha 4 à Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos 1 & 0 & 0 & 0 & | & 23 0 & 1 & 0 & 0 & | & 43 0 & 0 & 1 & 0 & | & -524 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13 vezes a Linha 4 da Linha 3.
Após essas operações, a matriz final fica:

Resposta

A solução do sistema é .

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