Resolver a inequação (x-1)/(x-3) ≥0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação x-1x-3 >= 0. Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que envolve frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a expressão é maior ou igual a zero, ou seja, onde ela é positiva ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da inequação. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são iguais a zero, pois são os valores que podem mudar o sinal da expressão.
  1. Numerador igual a zero:
    x - 1 = 0 implies x = 1
  2. Denominador igual a zero:
    x - 3 = 0 implies x = 3
Então, temos dois pontos críticos: x = 1 e x = 3.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos. Os intervalos serão:
  1. x < 1
  2. 1 < x < 3
  3. x > 3
Observação: x = 3 torna o denominador zero, o que não é permitido, então x = 3 está excluído da solução.

Passo 4

Vamos testar cada intervalo para ver se a expressão x-1x-3 é positiva ou negativa:
  1. Para x < 1:
    • Escolha x = 0.
    • 0-10-3 = -1-3 = 13 > 0
  2. Para 1 < x < 3:
    • Escolha x = 2.
    • 2-12-3 = 1-1 = -1 < 0
  3. Para x > 3:
    • Escolha x = 4.
    • 4-14-3 = 31 = 3 > 0

Passo 5

Além disso, quando x = 1, o numerador é zero, então a expressão é igual a zero, o que satisfaz a inequação >= 0.

Passo 6

Juntando todas as informações:
  • A expressão é positiva em x < 1 e x > 3.
  • É zero em x = 1.
  • É negativa entre 1 e 3 e não está definida em x = 3.

Resposta

A solução da inequação x-1x-3 >= 0 é:
x <= 1 ou x > 3
Em intervalo, fica:
(-infty, 1] cup (3, infty)

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