Resolver os limites abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado a limites envolvendo funções exponenciais. Para resolvê-lo, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como aplicar limites em expressões que têm a forma de potenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Sabemos que se temos uma função na forma
, podemos escrevê-la como
. Então, aplicando isso na nossa expressão:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, precisamos primeiro encontrar o limite do expoente
quando
.
Passo 4
Vamos analisar o limite
. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos voltar à expressão original:
Resposta
O limite
é igual a
.
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Calcule os limites, caso exista:
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