Resolver os limites abaixo: lim y 0(1+y)^1 / y

Passo 1

Vamos resolver o limite lim y 0(1+y)^1 / y. Esse problema está relacionado a limites envolvendo funções exponenciais. Para resolvê-lo, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como aplicar limites em expressões que têm a forma de potenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Sabemos que se temos uma função na forma a^b, podemos escrevê-la como e^b cdot ln(a). Então, aplicando isso na nossa expressão:
(1+y)^1/y = e^1y cdot ln(1+y)

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de e^1y cdot ln(1+y) quando y se aproxima de 0. Para isso, precisamos primeiro encontrar o limite do expoente ln(1+y)y quando y to 0.

Passo 4

Vamos analisar o limite limy to 0 ln(1+y)y. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 00. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada de ln(1+y) em relação a y é 11+y.
  • Derivada de y em relação a y é 1.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
limy to 0 ln(1+y)y = limy to 0 11+y1 = 11+0 = 1

Passo 5

Agora que sabemos que limy to 0 ln(1+y)y = 1, podemos voltar à expressão original:
limy to 0 e^ln(1+y)y = e^limy to 0 ln(1+y)y = e^1 = e

Resposta

O limite lim y 0(1+y)^1 / y é igual a e.

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