Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel usando como aproximação inicial X^(0)=[ccc0 & 0 & 0]^T e como critérios de parada k=10 ou epsilon<10^-2.
l -x1+6 x2-x3=32 6 x1-x2-x3=11,33 -x1-x2-6 x3=42

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3) e pede para usar uma aproximação inicial onde todas as variáveis começam em zero. Além disso, temos dois critérios para parar as iterações: ou fazemos no máximo 10 passos ( k=10) ou a mudança entre as aproximações é menor que 10^-2 ( epsilon < 0,01).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, onde atualizamos cada variável passo a passo usando os valores mais recentes disponíveis.
As equações dadas são:
  1. -x1 + 6x2 - x3 = 32
  2. 6x1 - x2 - x3 = 11,33
  3. -x1 - x2 - 6x3 = 42
Vamos isolar cada variável:
  1. Da primeira equação, isolamos x1:
    -x1 = 32 - 6x2 + x3
    x1 = 6x2 - x3 - 32
  2. Da segunda equação, isolamos x2:
    -x2 = 11,33 - 6x1 + x3
    x2 = 6x1 - x3 - 11,33
  3. Da terceira equação, isolamos x3:
    -6x3 = 42 + x1 + x2
    x3 = -16(x1 + x2 + 42)

Passo 3

Agora que temos as equações reescritas, vamos usar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada variável usando os valores mais recentes disponíveis, ou seja, assim que uma variável é atualizada, ela é usada imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.
Começamos com a aproximação inicial:
X^(0) = 0 0 0
Vamos denotar a iteração k como X^(k) = x1^(k) x2^(k) x3^(k) .

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração ( k=1):
  1. Atualizamos x1^(1) usando x2^(0) e x3^(0):
    x1^(1) = 6x2^(0) - x3^(0) - 32 = 6(0) - 0 - 32 = -32
  2. Atualizamos x2^(1) usando x1^(1) e x3^(0):
    x2^(1) = 6x1^(1) - x3^(0) - 11,33 = 6(-32) - 0 - 11,33 = -192 - 11,33 = -203,33
  3. Atualizamos x3^(1) usando x1^(1) e x2^(1):
    x3^(1) = -16(x1^(1) + x2^(1) + 42) = -16(-32 -203,33 + 42) = -16(-193,33) approx 32,22
Portanto, após a primeira iteração:
X^(1) = -32 -203,33 32,22

Passo 5

Vamos verificar se atendemos aos critérios de parada. Calculamos a diferença entre X^(1) e X^(0):
epsilon = max( | -32 - 0 |, | -203,33 - 0 |, | 32,22 - 0 | ) = 203,33
Como epsilon = 203,33 > 0,01 e k=1 < 10, precisamos continuar com mais iterações.

Passo 6

Segunda iteração ( k=2):
  1. Atualizamos x1^(2):
    x1^(2) = 6x2^(1) - x3^(1) - 32 = 6(-203,33) - 32,22 - 32 approx -1219,98 -32,22 -32 approx -1284,20
  2. Atualizamos x2^(2):
    x2^(2) = 6x1^(2) - x3^(1) - 11,33 = 6(-1284,20) - 32,22 - 11,33 approx -7705,20 -32,22 -11,33 approx -7748,75
  3. Atualizamos x3^(2):
    x3^(2) = -16(x1^(2) + x2^(2) + 42) = -16(-1284,20 -7748,75 + 42) approx -16(-8990,95) approx 1498,49
Agora:
X^(2) = -1284,20 -7748,75 1498,49

Passo 7

Verificamos novamente a diferença:
epsilon = max( | -1284,20 - (-32) |, | -7748,75 - (-203,33) |, | 1498,49 - 32,22 | ) approx 7545,42
Como ainda não atendemos ao critério de parada, seguimos para a próxima iteração.

Passo 8

Terceira iteração ( k=3):
  1. Atualizamos x1^(3):
    x1^(3) = 6x2^(2) - x3^(2) - 32 = 6(-7748,75) - 1498,49 - 32 approx -46492,50 -1498,49 -32 approx -48023,00
  2. Atualizamos x2^(3):
    x2^(3) = 6x1^(3) - x3^(2) - 11,33 = 6(-48023,00) - 1498,49 - 11,33 approx -288138,00 -1498,49 -11,33 approx -289647,82
  3. Atualizamos x3^(3):
    x3^(3) = -16(x1^(3) + x2^(3) + 42) = -16(-48023,00 -289647,82 + 42) approx -16(-337628,82) approx 56271,47
Agora:
X^(3) = -48023,00 -289647,82 56271,47

Passo 9

Verificamos novamente a diferença:
epsilon = max( | -48023,00 - (-1284,20) |, | -289647,82 - (-7748,75) |, | 56271,47 - 1498,49 | ) approx 281,899,07
Ainda não atendemos ao critério, então continuamos.

Passo 10

Quarta iteração ( k=4):
  1. Atualizamos x1^(4):
    x1^(4) = 6x2^(3) - x3^(3) - 32 = 6(-289647,82) - 56271,47 - 32 approx -1.737.886,92 - 56.271,47 -32 approx -1.794.190,39
  2. Atualizamos x2^(4):
    x2^(4) = 6x1^(4) - x3^(3) - 11,33 = 6(-1.794.190,39) - 56.271,47 - 11,33 approx -10.765.142,34 -56.271,47 -11,33 approx -10.821.425,14
  3. Atualizamos x3^(4):
    x3^(4) = -16(x1^(4) + x2^(4) + 42) = -16(-1.794.190,39 -10.821.425,14 + 42) approx -16(-12.615.573,75) approx 2.102.595,63
Agora:
X^(4) = -1.794.190,39 -10.821.425,14 2.102.595,63

Passo 11

Verificamos novamente a diferença:
epsilon = max( | -1.794.190,39 - (-48023,00) |, | -10.821.425,14 - (-289.647,82) |, | 2.102.595,63 - 56.271,47 | ) approx 10.530.777,72
Ainda não atingimos os critérios de parada, mas já excedemos o número máximo de iterações ( k=10). Portanto, encerramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações, a aproximação para a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
X = -1.794.190,39 -10.821.425,14 2.102.595,63
No entanto, observamos que o método não convergiu dentro das 10 iterações ou que os valores estão divergindo, indicando que pode ser necessário verificar a estabilidade do sistema ou considerar outro método de resolução.

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