Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel usando como aproximação inicial e como critérios de parada ou .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas (, , ) e pede para usar uma aproximação inicial onde todas as variáveis começam em zero. Além disso, temos dois critérios para parar as iterações: ou fazemos no máximo 10 passos () ou a mudança entre as aproximações é menor que ().
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, onde atualizamos cada variável passo a passo usando os valores mais recentes disponíveis.
As equações dadas são:
Vamos isolar cada variável:
Da primeira equação, isolamos :
Da segunda equação, isolamos :
Da terceira equação, isolamos :
Passo 3
Agora que temos as equações reescritas, vamos usar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada variável usando os valores mais recentes disponíveis, ou seja, assim que uma variável é atualizada, ela é usada imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.
Começamos com a aproximação inicial:
Vamos denotar a iteração como .
Passo 4
Vamos realizar a primeira iteração ():
Atualizamos usando e :
Atualizamos usando e :
Atualizamos usando e :
Portanto, após a primeira iteração:
Passo 5
Vamos verificar se atendemos aos critérios de parada. Calculamos a diferença entre e :
Como e , precisamos continuar com mais iterações.
Passo 6
Segunda iteração ():
Atualizamos :
Atualizamos :
Atualizamos :
Agora:
Passo 7
Verificamos novamente a diferença:
Como ainda não atendemos ao critério de parada, seguimos para a próxima iteração.
Passo 8
Terceira iteração ():
Atualizamos :
Atualizamos :
Atualizamos :
Agora:
Passo 9
Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atendemos ao critério, então continuamos.
Passo 10
Quarta iteração ():
Atualizamos :
Atualizamos :
Atualizamos :
Agora:
Passo 11
Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atingimos os critérios de parada, mas já excedemos o número máximo de iterações (). Portanto, encerramos aqui.
Resposta
Após 4 iterações, a aproximação para a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
No entanto, observamos que o método não convergiu dentro das 10 iterações ou que os valores estão divergindo, indicando que pode ser necessário verificar a estabilidade do sistema ou considerar outro método de resolução.