Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel usando como aproximação inicial e como critérios de parada ou .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas (x1, x2, x3) e pede para usar uma aproximação inicial onde todas as variáveis começam em zero. Além disso, temos dois critérios para parar as iterações: ou fazemos no máximo 10 passos (k=10) ou a mudança entre as aproximações é menor que 10^-2 (epsilon < 0,01).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, onde atualizamos cada variável passo a passo usando os valores mais recentes disponíveis.
As equações dadas são:
-x1 + 6x2 - x3 = 32
6x1 - x2 - x3 = 11,33
-x1 - x2 - 6x3 = 42
Vamos isolar cada variável:
Da primeira equação, isolamos x1:
-x1 = 32 - 6x2 + x3
x1 = 6x2 - x3 - 32
Da segunda equação, isolamos x2:
-x2 = 11,33 - 6x1 + x3
x2 = 6x1 - x3 - 11,33
Da terceira equação, isolamos x3:
-6x3 = 42 + x1 + x2
x3 = -16(x1 + x2 + 42)
Passo 3
Agora que temos as equações reescritas, vamos usar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada variável usando os valores mais recentes disponíveis, ou seja, assim que uma variável é atualizada, ela é usada imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.
Começamos com a aproximação inicial:
X^(0) = 0 0 0
Vamos denotar a iteração k como X^(k) = x1^(k) x2^(k) x3^(k) .
Ainda não atingimos os critérios de parada, mas já excedemos o número máximo de iterações (k=10). Portanto, encerramos aqui.
Resposta
Após 4 iterações, a aproximação para a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
X = -1.794.190,39 -10.821.425,14 2.102.595,63
No entanto, observamos que o método não convergiu dentro das 10 iterações ou que os valores estão divergindo, indicando que pode ser necessário verificar a estabilidade do sistema ou considerar outro método de resolução.