Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel usando como aproximação inicial e como critérios de parada ou .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ) e pede para usar uma aproximação inicial onde todas as variáveis começam em zero. Além disso, temos dois critérios para parar as iterações: ou fazemos no máximo 10 passos ( ) ou a mudança entre as aproximações é menor que ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, onde atualizamos cada variável passo a passo usando os valores mais recentes disponíveis.
As equações dadas são:
Vamos isolar cada variável:
  1. Da primeira equação, isolamos :
  2. Da segunda equação, isolamos :
  3. Da terceira equação, isolamos :

Passo 3

Agora que temos as equações reescritas, vamos usar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada variável usando os valores mais recentes disponíveis, ou seja, assim que uma variável é atualizada, ela é usada imediatamente nas próximas atualizações dentro da mesma iteração.
Começamos com a aproximação inicial:
Vamos denotar a iteração como .

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração ( ):
  1. Atualizamos usando e :
  2. Atualizamos usando e :
  3. Atualizamos usando e :
Portanto, após a primeira iteração:

Passo 5

Vamos verificar se atendemos aos critérios de parada. Calculamos a diferença entre e :
Como e , precisamos continuar com mais iterações.

Passo 6

Segunda iteração ( ):
  1. Atualizamos :
  2. Atualizamos :
  3. Atualizamos :
Agora:

Passo 7

Verificamos novamente a diferença:
Como ainda não atendemos ao critério de parada, seguimos para a próxima iteração.

Passo 8

Terceira iteração ( ):
  1. Atualizamos :
  2. Atualizamos :
  3. Atualizamos :
Agora:

Passo 9

Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atendemos ao critério, então continuamos.

Passo 10

Quarta iteração ( ):
  1. Atualizamos :
  2. Atualizamos :
  3. Atualizamos :
Agora:

Passo 11

Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atingimos os critérios de parada, mas já excedemos o número máximo de iterações ( ). Portanto, encerramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações, a aproximação para a solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
No entanto, observamos que o método não convergiu dentro das 10 iterações ou que os valores estão divergindo, indicando que pode ser necessário verificar a estabilidade do sistema ou considerar outro método de resolução.

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