Resolver a seguinte integral usando a técnica da substituição trigonométrica:
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral
usando a técnica da substituição trigonométrica. Isso envolve entender como transformar uma expressão que tem uma raiz quadrada com termos quadrados em algo que podemos integrar mais facilmente usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a parte dentro da raiz. Observando
, podemos pensar em usar uma substituição trigonométrica onde
. Assim,
.
Passo 3
Com
, calculamos
. Derivando ambos os lados, temos:
Isso vai nos ajudar a substituir
e
na integral.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, simplificamos a integral:
Passo 6
Sabemos que
pode ser integrada usando substituição. Vamos deixar
, então
. Mas aqui temos uma
, que pode ser reescrita como
.
Passo 7
Integrando:
Multiplicando pela constante
:
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, então
. Substituindo:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.