Resolver a seguinte integral usando a técnica da substituição trigonométrica:
integral x^3raiz1+4 x^2 d x.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral usando a técnica da substituição trigonométrica. Isso envolve entender como transformar uma expressão que tem uma raiz quadrada com termos quadrados em algo que podemos integrar mais facilmente usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a parte dentro da raiz. Observando , podemos pensar em usar uma substituição trigonométrica onde . Assim, .

Passo 3

Com dx = 12 sec^2 theta , dtheta , calculamos . Derivando ambos os lados, temos:
Isso vai nos ajudar a substituir e na integral.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral (12 tan theta)^3raiz1 + 4 (12 tan theta)^2 cdot 12 sec^2 theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz1 + tan^2 theta = sec theta

Passo 5

Agora, simplificamos a integral:
integral 18 tan^3 thetasec theta cdot 12 sec^2 theta , dtheta = integral 116 tan^3 theta sec theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que pode ser integrada usando substituição. Vamos deixar , então . Mas aqui temos uma , que pode ser reescrita como .

Passo 7

Integrando:
integral tan^3 theta sec theta , dtheta = 14 tan^4 theta + C
Multiplicando pela constante 116 cdot 14 tan^4 theta = 164 tan^4 theta + C :

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original 164 (2x)^4 + C = 164 cdot 16x^4 + C = x^44 + C . Lembrando que , então . Substituindo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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