Verificar se a seguinte matriz é invertivel e, caso for, calcular a inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é verificar se uma matriz é invertível e, se for, descobrir qual é a sua inversa. Estamos trabalhando com matrizes aqui, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre determinantes e métodos para encontrar a inversa de uma matriz, como a regra de Cramer ou a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz A = 2 & -3 & 5 0 & 1 & -3 0 & 0 & 2 que nos foi dada:
Passo 3
Para saber se a matriz é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
A matriz det(A) = 2 times 1 times 2 = 4 é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular o determinante de :
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que a matriz é invertível.
Passo 6
Agora que sabemos que é invertível, vamos calcular a inversa da matriz. Para matrizes triangulares, a inversa também será triangular e podemos calcular os elementos da inversa usando métodos simplificados.
Passo 7
Vamos chamar a inversa de A^-1 = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f de :
Precisamos encontrar os valores de e que satisfazem , onde é a matriz identidade.
Passo 8
Multiplicando 2 & -3 & 5 0 & 1 & -3 0 & 0 & 2 a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f = 2a & 2b - 3d & 2c - 3e + 5f 0 times a + 1 times 0 + (-3) times 0 & 0 times b + 1 times d + (-3) times 0 & 0 times c + 1 times e + (-3) times f 0 & 0 & 2f = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 por , temos:
[
]
Passo 9
Agora, igualando os elementos correspondentes, temos as seguintes equações:
→
(da segunda linha, segunda coluna)
→
Passo 10
Vamos resolver as equações:
Já temos e .
Da equação 4, .
Da equação 2: → → .
Da equação 5: → .
Da equação 3: → → → .
Resposta
A matriz A^-1 = 12 & 32 & 1 0 & 1 & 32 0 & 0 & 12 é invertível e a sua inversa é: