Verificar se a seguinte matriz é invertivel e, caso for, calcular a inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é verificar se uma matriz é invertível e, se for, descobrir qual é a sua inversa. Estamos trabalhando com matrizes aqui, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre determinantes e métodos para encontrar a inversa de uma matriz, como a regra de Cramer ou a matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que nos foi dada:
Passo 3
Para saber se a matriz é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
A matriz é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular o determinante de :
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que a matriz é invertível.
Passo 6
Agora que sabemos que é invertível, vamos calcular a inversa da matriz. Para matrizes triangulares, a inversa também será triangular e podemos calcular os elementos da inversa usando métodos simplificados.
Passo 7
Vamos chamar a inversa de de :
Precisamos encontrar os valores de e que satisfazem , onde é a matriz identidade.
Passo 8
Multiplicando por , temos:
[
]
Passo 9
Agora, igualando os elementos correspondentes, temos as seguintes equações: