Verificar se a seguinte matriz é invertivel e, caso for, calcular a inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é verificar se uma matriz é invertível e, se for, descobrir qual é a sua inversa. Estamos trabalhando com matrizes aqui, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre determinantes e métodos para encontrar a inversa de uma matriz, como a regra de Cramer ou a matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que nos foi dada:

Passo 3

Para saber se a matriz é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

A matriz é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular o determinante de :

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que a matriz é invertível.

Passo 6

Agora que sabemos que é invertível, vamos calcular a inversa da matriz. Para matrizes triangulares, a inversa também será triangular e podemos calcular os elementos da inversa usando métodos simplificados.

Passo 7

Vamos chamar a inversa de de :
Precisamos encontrar os valores de e que satisfazem , onde é a matriz identidade.

Passo 8

Multiplicando por , temos:

[


]

Passo 9

Agora, igualando os elementos correspondentes, temos as seguintes equações:
  1. (da segunda linha, segunda coluna)

Passo 10

Vamos resolver as equações:
  • Já temos e .
  • Da equação 4, .
  • Da equação 2: .
  • Da equação 5: .
  • Da equação 3: .

Resposta

A matriz é invertível e a sua inversa é:

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