Resolver as seguintes EDO PVI:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa resolver. A equação é:
E a condição inicial é . Vamos precisar usar técnicas de resolução de EDO de primeira ordem, especialmente a separação de variáveis, para achar a solução que passa por esse ponto inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis e . A equação dada é:
Vamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos usar a separação de variáveis. Isso significa que colocamos todas as funções de de um lado e todas as funções de do outro lado:
Assim, conseguimos separar as variáveis e .

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre e :
Sabemos que a integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação para resolver em termos de . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos combinar as constantes:
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos remover o valor absoluto considerando que absorve o sinal:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , :
Como :

Passo 8

Com , a solução da EDO fica:
Para expressar explicitamente, tiramos o arco cosseno:

Resposta

A solução da EDO que satisfaz a condição inicial é:

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