Resolver as seguintes EDO
PVI:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que precisa resolver. A equação é:
E a condição inicial é
. Vamos precisar usar técnicas de resolução de EDO de primeira ordem, especialmente a separação de variáveis, para achar a solução que passa por esse ponto inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. A equação dada é:
Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos usar a separação de variáveis. Isso significa que colocamos todas as funções de
de um lado e todas as funções de
do outro lado:
Assim, conseguimos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação para encontrar uma relação entre
e
:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação para resolver
em termos de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos combinar as constantes:
Onde
é uma nova constante.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos remover o valor absoluto considerando que
absorve o sinal:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
:
Como
:
Passo 8
Com
, a solução da EDO fica:
Para expressar
explicitamente, tiramos o arco cosseno:
Resposta
A solução da EDO que satisfaz a condição inicial
é:
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