Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do tipo linear de primeira ordem. A equação é , onde é uma função definida por partes:
Temos também a condição inicial . Vamos usar o segundo teorema de tradução para resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o segundo teorema de tradução. Ele é útil quando temos funções que mudam de expressão em determinado ponto, como no nosso caso que muda de 0 para 5 em . Esse teorema nos ajuda a lidar com essas mudanças de forma mais fácil, especialmente usando transformadas de Laplace.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação . Lembrando que:
E como , fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Como é uma função por partes, podemos escrever:
Onde é a função degrau de Heaviside que “liga” a função em . A transformada de Laplace dessa expressão é:

Passo 5

Substituindo na equação anterior:
Para encontrar , isolamos:

Passo 6

Agora, vamos fazer a transformada inversa para encontrar . Podemos usar a propriedade de deslocamento (segundo teorema de tradução):
Primeiro, encontramos :
Então:

Passo 7

Aplicando o deslocamento:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: e , com e .