Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) do tipo linear de primeira ordem. A equação é
, onde
é uma função definida por partes:
Temos também a condição inicial
. Vamos usar o segundo teorema de tradução para resolver essa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o segundo teorema de tradução. Ele é útil quando temos funções que mudam de expressão em determinado ponto, como no nosso caso que
muda de 0 para 5 em
. Esse teorema nos ajuda a lidar com essas mudanças de forma mais fácil, especialmente usando transformadas de Laplace.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação
. Lembrando que:
E como
, fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Como
é uma função por partes, podemos escrever:
Onde
é a função degrau de Heaviside que “liga” a função em
. A transformada de Laplace dessa expressão é:
Passo 5
Substituindo na equação anterior:
Para encontrar
, isolamos:
Passo 6
Agora, vamos fazer a transformada inversa para encontrar
. Podemos usar a propriedade de deslocamento (segundo teorema de tradução):
Primeiro, encontramos
:
Então:
Passo 7
Aplicando o deslocamento:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.