Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo , onde a função muda de valor em . A matéria que estamos usando aqui é de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes e funções não homogêneas que são por partes. Para resolver isso, vamos usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a lidar com essas mudanças na função . Precisamos também considerar a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes, já que muda de 1 para -1 em . Assim, teremos:
  1. Para :
  2. Para :
Vamos resolver a EDO em cada intervalo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro intervalo, , onde . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante, que é .
Multiplicando ambos os lados por :
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver para , onde . A equação agora é:
Usando o mesmo método do fator integrante:
Fator integrante:
Multiplicando ambos os lados por :
Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Agora, precisamos encontrar a constante . Para isso, usamos a continuidade da solução em . Calculamos usando a solução do primeiro intervalo:
Essa será a condição inicial para o segundo intervalo. Então:
Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Então, a solução para é:

Resposta

A solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com e .
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .