Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
y' + y = f(t), onde f(t) = { 1, 0 <= t < 1; -1, t >= 1 } com y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo , onde a função f(t) muda de valor em t = 1. A matéria que estamos usando aqui é de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes e funções não homogêneas que são por partes. Para resolver isso, vamos usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a lidar com essas mudanças na função f(t). Precisamos também considerar a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes, já que f(t) muda de 1 para -1 em t = 1. Assim, teremos:
  1. Para :
  2. Para :
Vamos resolver a EDO em cada intervalo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro intervalo, , onde . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante, que é .
Multiplicando ambos os lados por e^t:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por e^t:
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver para , onde . A equação agora é:
Usando o mesmo método do fator integrante:
Fator integrante:
Multiplicando ambos os lados por e^t:
Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por e^t:
Agora, precisamos encontrar a constante C. Para isso, usamos a continuidade da solução em t = 1. Calculamos y(1) usando a solução do primeiro intervalo:
Essa será a condição inicial para o segundo intervalo. Então:
Resolvendo para C:
Multiplicando ambos os lados por e:
Então, a solução para é:

Resposta

A solução da EDO é:

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