Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo
, onde a função
muda de valor em
. A matéria que estamos usando aqui é de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes e funções não homogêneas que são por partes. Para resolver isso, vamos usar o segundo teorema de traslação, que ajuda a lidar com essas mudanças na função
. Precisamos também considerar a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes, já que
muda de 1 para -1 em
. Assim, teremos:
- Para
: - Para
:
Vamos resolver a EDO em cada intervalo separadamente.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro intervalo,
, onde
. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante, que é
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
, onde
. A equação agora é:
Usando o mesmo método do fator integrante:
Fator integrante:
Multiplicando ambos os lados por
:
Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Agora, precisamos encontrar a constante
. Para isso, usamos a continuidade da solução em
. Calculamos
usando a solução do primeiro intervalo:
Essa será a condição inicial para o segundo intervalo. Então:
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então, a solução para
é:
Resposta
A solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
e
.
Calcule as derivadas parciais indicadas em cada item:
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.