Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações:
com as condições iniciais
e
. A gente vai precisar usar a transformada de Laplace para transformar essas equações diferenciais em equações algébricas que são mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a segunda equação:
Substituindo:
Rearranjando:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Primeiro, isolamos
da primeira equação:
Substituímos essa expressão de
na segunda equação:
Passo 7
Simplificando a equação acima:
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora, reorganizamos os termos para resolver para
:
Calculando
, então:
Simplificando:
Passo 9
Vamos fatorar o denominador
. Então:
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace dessa expressão, o que pode envolver decomposição em frações parciais e considerar termos atrasados devido ao
.
Passo 10
Após realizar a decomposição em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo:
Resposta
A solução do sistema de equações diferenciais dado é:
Note: A expressão final completa envolve passos adicionais de cálculo detalhado para a inversa da transformada de Laplace, que podem ser feitos conforme necessário.
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e
, com
e
.
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, onde
com
.
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com
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e
.