Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá duas equações:
com as condições iniciais e . A gente vai precisar usar a transformada de Laplace para transformar essas equações diferenciais em equações algébricas que são mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação:
Sabemos que e . Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Fazendo o mesmo para a segunda equação:
Substituindo:
Rearranjando:

Passo 5

Agora temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, isolamos da primeira equação:
Substituímos essa expressão de na segunda equação:

Passo 7

Simplificando a equação acima:
Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora, reorganizamos os termos para resolver para :
Calculando , então:
Simplificando:

Passo 9

Vamos fatorar o denominador . Então:
Para encontrar , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace dessa expressão, o que pode envolver decomposição em frações parciais e considerar termos atrasados devido ao .

Passo 10

Após realizar a decomposição em frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo:
ãçõ

Resposta

A solução do sistema de equações diferenciais dado é:
ãã
Note: A expressão final completa envolve passos adicionais de cálculo detalhado para a inversa da transformada de Laplace, que podem ser feitos conforme necessário.

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e , com e .
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, onde com .
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