Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que a gente tem aqui. O sistema dado é:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é de sistemas lineares de EDOs. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais desses sistemas, o que envolve calcular os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Nosso próximo passo é encontrar os autovalores dessa matriz, que nos ajudará a determinar a forma das soluções.
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
Simplificando:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar
.
Passo 4
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para
:
Resolvemos
:
[
= 0
]
Da primeira linha:
.
Podemos escolher , então
.
Autovetor: .
Podemos escolher
Autovetor:
Para
:
Resolvemos
:
[
= 0
]
Da primeira linha:
.
Podemos escolher , então
.
Autovetor: .
Podemos escolher
Autovetor:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada par
:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.