Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que a gente tem aqui. O sistema dado é:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é de sistemas lineares de EDOs. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais desses sistemas, o que envolve calcular os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações:
[



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Nosso próximo passo é encontrar os autovalores dessa matriz, que nos ajudará a determinar a forma das soluções.

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando:
Simplificando:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar .

Passo 4

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.

Para :
Resolvemos :
[



= 0
]
Da primeira linha: .
Podemos escolher , então .
Autovetor: .

Para :
Resolvemos :
[



= 0
]
Da primeira linha: .
Podemos escolher , então .
Autovetor: .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada par :
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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, com e .
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e .
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e .