Beleza! Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você enviou:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de EDOs e métodos para encontrar soluções gerais e particulares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de EDOs de forma matricial, o que facilita o trabalho com sistemas lineares. Assim, temos:
onde
Essa forma nos ajuda a identificar a matriz dos coeficientes e o termo não homogêneo.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral do sistema, que é a soma da solução geral da equação homogênea () com uma solução particular ():
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:
Passo 4
Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os autovalores () da matriz . Para isso, calculamos o determinante de igualado a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos um autovalor duplo .
Passo 5
Com o autovalor , agora encontramos o autovetor correspondente resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .
Passo 6
Como temos um autovalor duplo, precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente. Para isso, buscamos uma solução da forma:
onde satisfaz .
Resolvendo:
Isso resulta em:
Somando as duas equações:
Portanto, podemos escolher , então . Assim, a segunda solução é .
Passo 7
Agora, a solução geral do sistema homogêneo é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para o sistema completo. Observamos que os termos não homogêneos são e , então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde , , e são constantes a serem encontradas.
Passo 9
Derivando :
Substituindo e no sistema original:
Simplificando as equações:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos e em ambas as equações:
Para :
Para :
E na segunda equação:
Para :
Para :
Passo 11
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver passo a passo:
Primeira equação e terceira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Agora, da segunda equação:
Substituindo na quarta equação:
Então,
Passo 12
Com os valores encontrados, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral do sistema de EDOs é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.