Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
x' = -5 x - y + e^t e y' = x - 3y + e^(2t).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você enviou:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de EDOs e métodos para encontrar soluções gerais e particulares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de EDOs de forma matricial, o que facilita o trabalho com sistemas lineares. Assim, temos:
onde
Essa forma nos ajuda a identificar a matriz dos coeficientes e o termo não homogêneo.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral do sistema, que é a soma da solução geral da equação homogênea ( ) com uma solução particular ( ):
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:

Passo 4

Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Para isso, calculamos o determinante de igualado a zero:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos um autovalor duplo .

Passo 5

Com o autovalor , agora encontramos o autovetor correspondente resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Como temos um autovalor duplo, precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente. Para isso, buscamos uma solução da forma:
onde satisfaz .
Resolvendo:
Isso resulta em:
Somando as duas equações:
Portanto, podemos escolher , então . Assim, a segunda solução é .

Passo 7

Agora, a solução geral do sistema homogêneo é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema completo. Observamos que os termos não homogêneos são e , então vamos assumir uma solução particular da forma:
onde , , e são constantes a serem encontradas.

Passo 9

Derivando :
Substituindo e no sistema original:
Simplificando as equações:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos e em ambas as equações:
Para :
Para :
E na segunda equação:
Para :
Para :

Passo 11

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver passo a passo:
Primeira equação e terceira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Agora, da segunda equação:
Substituindo na quarta equação:
Então,

Passo 12

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Passo 13

Finalmente, a solução geral do sistema de EDOs é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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