Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você me passou. A gente tem duas funções, e , que dependem do tempo . As equações são:
Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares de EDOs e métodos de resolução de equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema. Observando a segunda equação , podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação para ter uma equação apenas em termos de :
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituindo na equação, temos:
Fatorando (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral para é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então, .
Agora, precisamos derivar para encontrar :
Quando :
Mas sabemos que , então:

Resposta

Substituindo e na solução de :
E lembrando que , derivamos :
Portanto, as soluções são:

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, onde com .
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, onde com .
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