Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você me passou. A gente tem duas funções,
e
, que dependem do tempo
. As equações são:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares de EDOs e métodos de resolução de equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema. Observando a segunda equação
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação para ter uma equação apenas em termos de
:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral para
é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Agora, precisamos derivar
para encontrar
:
Quando
:
Mas sabemos que
, então:
Resposta
Substituindo
e
na solução de
:
E lembrando que
, derivamos
:
Portanto, as soluções são:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde
com
.