Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação): , onde com e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que envolve o segundo teorema de traslação. A equação que temos é:
Onde é uma função definida por partes:
Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace para resolver essa EDO, aplicando o segundo teorema de traslação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência, facilitando a resolução de EDOs. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na nossa equação diferencial:
Sabemos que:
E:
Onde é a transformada de Laplace de .
Passo 4
Substituindo na equação:
Como , fica:
Fatorando :
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular . Como é uma função por partes, vamos dividir a transformada em cada intervalo.
Para , . Podemos expressar como função degrau (função de Heaviside):
Onde é a função degrau que “liga” a partir de .
Passo 6
A transformada de Laplace da função degrau é:
Então, aplicando para nossos termos:
Passo 7
Substituindo na expressão de :
Passo 8
Agora, vamos separar a fração:
Isso nos facilita na hora de aplicar a transformada inversa de Laplace.
Passo 9
Lembrando que:
E, utilizando o teorema da traslação (segunda propriedade):