Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que envolve o segundo teorema de traslação. A equação que temos é:
Onde é uma função definida por partes:
Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace para resolver essa EDO, aplicando o segundo teorema de traslação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência, facilitando a resolução de EDOs. A transformada de Laplace de uma função é definida por:

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na nossa equação diferencial:
Sabemos que:
E:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo na equação:
Como , fica:
Fatorando :
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Como é uma função por partes, vamos dividir a transformada em cada intervalo.
Para , . Podemos expressar como função degrau (função de Heaviside):
Onde é a função degrau que “liga” a partir de .

Passo 6

A transformada de Laplace da função degrau é:
Então, aplicando para nossos termos:

Passo 7

Substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, vamos separar a fração:
Isso nos facilita na hora de aplicar a transformada inversa de Laplace.

Passo 9

Lembrando que:
E, utilizando o teorema da traslação (segunda propriedade):

Passo 10

Aplicando isso às duas parcelas de :

Passo 11

Agora, vamos simplificar a expressão para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A solução da EDO é dada por:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
. Resp.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .