Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas funções, e , e suas derivadas em relação ao tempo . As equações são:
Além disso, sabemos que no tempo inicial , ambas as funções têm o valor 1, ou seja, . Vamos resolver esse sistema passo a passo usando métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs.

Passo 2

Vamos reescrever o sistema de EDOs em forma matricial para facilitar a resolução. Podemos expressar as equações como:

[



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os valores próprios ( ) da matriz . Isso envolve resolver o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Com a raiz dupla, a solução geral do sistema terá a forma:
Mas para simplificar, podemos encontrar uma única solução vetorial e combinar as constantes. Para isso, precisamos encontrar os vetores próprios e generalizados.

Passo 6

Primeiro, encontramos o vetor próprio associada a . Resolvemos :

[



=

]
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher , o que dá .

Passo 7

Como temos uma raíz dupla, precisamos encontrar um vetor generalizado que satisfaz :

[


]
Resolvendo:
Isso leva a e . Então, .

Passo 8

Agora, a solução geral do sistema é dada por:
Simplificando:

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que e :
Para :

Passo 10

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução do sistema de EDOs é:

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, onde com e .
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. Resp.
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e .
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e e . Quem é a solução geral ?