Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) com duas funções, e , e suas derivadas em relação ao tempo . As equações são:
Além disso, sabemos que no tempo inicial , ambas as funções têm o valor 1, ou seja, . Vamos resolver esse sistema passo a passo usando métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs.
Passo 2
Vamos reescrever o sistema de EDOs em forma matricial para facilitar a resolução. Podemos expressar as equações como:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os valores próprios () da matriz . Isso envolve resolver o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos uma raiz dupla .
Passo 5
Com a raiz dupla, a solução geral do sistema terá a forma:
Mas para simplificar, podemos encontrar uma única solução vetorial e combinar as constantes. Para isso, precisamos encontrar os vetores próprios e generalizados.
Passo 6
Primeiro, encontramos o vetor próprio associada a . Resolvemos :
[
=
]
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher , o que dá .
Passo 7
Como temos uma raíz dupla, precisamos encontrar um vetor generalizado que satisfaz :
[
]
Resolvendo:
Isso leva a e . Então, .
Passo 8
Agora, a solução geral do sistema é dada por:
Simplificando:
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que e :