Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
. Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
usando o teorema de convolução. Aqui estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e precisamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais e do teorema de convolução, que nos ajuda a resolver EDOs não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada:
. Resolvendo essa parte, encontramos a solução complementar , onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, utilizaremos o teorema de convolução, que nos permite encontrar
através da integral de convolução entre a função de resposta ao impulso e o termo não homogêneo
.
Passo 4
A função de resposta ao impulso para a equação
é . Então, a solução particular é dada por:
Passo 5
Vamos resolver essa integral:
Fazendo uma substituição
, temos
e os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. Portanto:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais, resultando em:
Resposta
Assim, a solução geral da EDO é:
onde
e
são constantes arbitrárias.