Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
y^prime prime+y=sec t. Resp. y(t)=c1 cos t+c2 sen t+integral0^t sen(t-u) sec u d u
=c1 cos t+c2 sen t+t sent +cost ln (cos t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) usando o teorema de convolução. Aqui estamos lidando com uma EDO de segunda ordem e precisamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais e do teorema de convolução, que nos ajuda a resolver EDOs não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada: . Resolvendo essa parte, encontramos a solução complementar , onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, utilizaremos o teorema de convolução, que nos permite encontrar através da integral de convolução entre a função de resposta ao impulso e o termo não homogêneo .

Passo 4

A função de resposta ao impulso para a equação yp(t) = integral0^t sen(t - u) cdot sec u , du é . Então, a solução particular é dada por:

Passo 5

Vamos resolver essa integral:
Fazendo uma substituição yp(t) = integral0^t sen(t - u) sec u , du , temos yp(t) = integral0^t sen v sec(t - v) , dv e os limites de integração mudam para yp(t) = t sen t + cos t ln |cos t| quando e quando . Portanto:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por partes ou tabelas de integrais, resultando em:

Resposta

Assim, a solução geral da EDO é:
onde y(t) = c1 cos t + c2 sen t + t sen t + cos t ln (cos t) e são constantes arbitrárias.

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