Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que a gente tem aqui. As equações são:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas de EDOs e um pouco de cálculo para chegar na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
e
representam as derivadas de
e
em relação ao tempo
. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem essas equações.
Passo 3
Uma estratégia útil aqui é relacionar
usando a regra da cadeia. Sabemos que:
Então temos a equação diferencial:
Passo 4
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar essa equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos absorver
em uma nova constante
(onde
), então:
Passo 6
Agora que temos a relação entre
e
, podemos usar uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar
:
Isso se rearranja para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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e
, com
.
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, onde
com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
e
. Quem é a solução geral ?
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e
, com
.