Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que a gente tem aqui. As equações são:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas de EDOs e um pouco de cálculo para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que e representam as derivadas de e em relação ao tempo . Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar as funções e que satisfazem essas equações.

Passo 3

Uma estratégia útil aqui é relacionar usando a regra da cadeia. Sabemos que:
Então temos a equação diferencial:

Passo 4

Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para facilitar a integração. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados:
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar essa equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos absorver em uma nova constante (onde ), então:

Passo 6

Agora que temos a relação entre e , podemos usar uma das equações originais para encontrar . Vamos usar :
Isso se rearranja para:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
onde e são constantes arbitrárias.

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