Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem usando a transformada de Laplace. Isso envolve aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação, usar as condições iniciais fornecidas e, depois, encontrar a solução para . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela atua sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação . Lembre-se que a transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas. A transformada de Laplace da quarta derivada de é:
E a transformada de é simplesmente:
Além disso, sabemos que:

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação e aplicando as condições iniciais , , e , temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, isolamos :
Podemos fatorar :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos representar como:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Agora, substituímos valores específicos de para resolver os coeficientes . Após encontrar esses valores, podemos reescrever de forma mais simples.

Passo 7

Depois de determinar os coeficientes, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo de para encontrar . Utilizamos as tabelas de transformadas de Laplace para identificar as funções correspondentes, como exponenciais e funções trigonométricas.

Resposta

A solução da EDO é dada por:

Exercícios relacionados

Resolver o sistema de EDOs
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
. Resp.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, onde com e .