Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem
usando a transformada de Laplace. Isso envolve aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação, usar as condições iniciais fornecidas e, depois, encontrar a solução para
. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela atua sobre derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas. A transformada de Laplace da quarta derivada de
é:
E a transformada de
é simplesmente:
Além disso, sabemos que:
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação e aplicando as condições iniciais
,
,
e
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Podemos fatorar
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos representar
como:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Agora, substituímos valores específicos de
para resolver os coeficientes
. Após encontrar esses valores, podemos reescrever
de forma mais simples.
Passo 7
Depois de determinar os coeficientes, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo de
para encontrar
. Utilizamos as tabelas de transformadas de Laplace para identificar as funções correspondentes, como exponenciais e funções trigonométricas.
Resposta
A solução da EDO é dada por: