Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs: sent e , com .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e precisamos resolvê-lo usando a transformada de Laplace. As equações são:
As condições iniciais são:
Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações para transformar o sistema do domínio do tempo para o domínio de Laplace, facilitando a resolução.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação. Lembrando que:
Como todas as condições iniciais são zero, simplificamos:
Passo 3
Fazemos o mesmo para a segunda equação:
Então:
Passo 4
Agora, temos o sistema transformado:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 5
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos isolar na segunda equação:
Passo 6
Substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando mais:
Passo 7
Resolvendo para :
Voltando ao Passo 5 e 6, percebemos que houve um erro de simplificação. Vamos corrigir:
Após substituir na primeira equação:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:
Multiplicando novamente por :
Ainda assim, parece complicado. Vamos reconsiderar o método.
Passo 8
Na verdade, é mais eficiente resolver o sistema de equações transformadas diretamente. Temos:
Podemos resolver pelo método de determinantes (Regra de Cramer).