Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e precisamos resolvê-lo usando a transformada de Laplace. As equações são:
As condições iniciais são:
Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas equações para transformar o sistema do domínio do tempo para o domínio de Laplace, facilitando a resolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação. Lembrando que:
Como todas as condições iniciais são zero, simplificamos:

Passo 3

Fazemos o mesmo para a segunda equação:
Então:

Passo 4

Agora, temos o sistema transformado:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos isolar na segunda equação:

Passo 6

Substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando mais:

Passo 7

Resolvendo para :
Voltando ao Passo 5 e 6, percebemos que houve um erro de simplificação. Vamos corrigir:
Após substituir na primeira equação:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:
Multiplicando novamente por :
Ainda assim, parece complicado. Vamos reconsiderar o método.

Passo 8

Na verdade, é mais eficiente resolver o sistema de equações transformadas diretamente. Temos:
Podemos resolver pelo método de determinantes (Regra de Cramer).
Calculamos o determinante :
Calculamos :
Assim, (X(s) = \frac{D_X}{D} = \frac{-12s2}{-3s4 + 6s^3} = \frac{12s2}{3s4 - 6s^3} = \frac{4}{s^2 - 2s}
]
Simplificando:

Passo 9

Agora, fazemos o mesmo para :
Então,
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar e .
Para :
Assim,
Para :
Resolvendo as constantes, obtemos:
Após simplificar, encontramos a solução completa para .

Resposta

As soluções das equações são:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .