Resolver o sistema de EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que temos aqui. A gente tem duas funções,
e
, e queremos descobrir como elas se comportam ao longo do tempo. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares de EDOs com coeficientes constantes. Vamos precisar trabalhar com matrizes, encontrar autovalores e autovetores para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs de uma forma mais organizada, usando matrizes. O sistema dado é:
Podemos representar isso na forma matricial
, onde:
Assim, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Agora, para resolver esse sistema, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:
.
Passo 4
Como temos um autovalor repetido (
), precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos
.
Resolvendo o sistema:
Daí,
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Com um autovalor múltiplo, a solução geral terá uma forma especial. A primeira parte da solução é baseada no autovalor e no autovetor que encontramos:
Como o autovalor é repetido, precisamos encontrar uma segunda solução que envolve um vetor generalizado. Para isso, resolvemos
:
Isso leva a:
Podemos escolher
, então
, e o vetor generalizado é
.
Assim, a segunda parte da solução é:
Resposta
Juntando as duas partes, a solução geral do sistema é:
Portanto, as soluções são:
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Resolver o sistema
com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes EDOs:
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
. Resp.