Suponha uma função diferenciável e admita que
Mostre que

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a menos a derivada parcial de em relação a nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo diferencial, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Entendendo a Equação:
A equação diz que, para todo valor de , a combinação linear das variáveis dentro de resulta em um valor constante, que é 4.
Aplicando a Derivada em Ambos os Lados:
Como a expressão é constante (sempre igual a 4), a derivada em relação a dessa expressão será zero. Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia:
Para derivar em relação a , usamos a Regra da Cadeia. Se é uma função de duas variáveis, e , então:
Substituindo e :
Sabemos que isso é igual a zero:

Passo 4

Isolando as Derivadas Parciais:
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
Então,
Relacionando com e :
Aqui, e representam, respectivamente, as variáveis e na função . Portanto, podemos reescrever as derivadas parciais como:

Resposta

Assim, demonstramos que

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Seja uma função diferenciável em . Sabendo que que , faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .
Resolver as seguintes equações: .
Resp.: .
Resolver as seguintes equações: . Determinar a solução particular para .
Resp.: .
Racionalize o denominador