Suponha
uma função diferenciável e admita que
Mostre que
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é igual a menos a derivada parcial de
em relação a
nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo diferencial, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Temos uma função diferenciável
Passo 2
Entendendo a Equação:
A equação diz que, para todo valor de
, a combinação linear das variáveis dentro de
resulta em um valor constante, que é 4.
A equação
Aplicando a Derivada em Ambos os Lados:
Como a expressão é constante (sempre igual a 4), a derivada em relação a dessa expressão será zero. Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Como a expressão é constante (sempre igual a 4), a derivada em relação a
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia:
Para derivar em relação a
, usamos a Regra da Cadeia. Se
é uma função de duas variáveis,
e
, então:
Para derivar
Substituindo
e
:
Sabemos que isso é igual a zero:
Passo 4
Isolando as Derivadas Parciais:
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
Então,
Relacionando com
e
:
Aqui, e
representam, respectivamente, as variáveis
e
na função
. Portanto, podemos reescrever as derivadas parciais como:
Aqui,
Resposta
Assim, demonstramos que
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável em
. Sabendo que
que
, faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Resolver as seguintes equações:
.
Resp.: .
Resp.:
Resolver as seguintes equações:
. Determinar a solução particular para
.
Resp.: .
Resp.:
Racionalize o denominador