Suponha f uma função diferenciável e admita que
f(3 x+1,3 x-1)=4
Mostre que partial fpartial x(3 x+1,3 x-1)=-partial fpartial y(3 x+1,3 x-1)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a menos a derivada parcial de em relação a nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo diferencial, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Entendendo a Equação:
A equação ddx f(3x + 1,, 3x - 1) = ddx 4 diz que, para todo valor de ddx f(3x + 1,, 3x - 1) = 0 , a combinação linear das variáveis dentro de resulta em um valor constante, que é 4.
Aplicando a Derivada em Ambos os Lados:
Como a expressão é constante (sempre igual a 4), a derivada em relação a dessa expressão será zero. Então, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia:
Para derivar ddx f(u, v) = partial fpartial u cdot dudx + partial fpartial v cdot dvdx em relação a ddx f(3x + 1,, 3x - 1) = partial fpartial u cdot 3 + partial fpartial v cdot 3 , usamos a Regra da Cadeia. Se = 3 partial fpartial u + 3 partial fpartial v é uma função de duas variáveis, 3 partial fpartial u + 3 partial fpartial v = 0 e , então:
Substituindo e :
Sabemos que isso é igual a zero:

Passo 4

Isolando as Derivadas Parciais:
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 3:
partial fpartial u + partial fpartial v = 0
Então,
partial fpartial u = -partial fpartial v
Relacionando com partial fpartial x(3x + 1,, 3x - 1) = -partial fpartial y(3x + 1,, 3x - 1) e :
Aqui, e representam, respectivamente, as variáveis e na função . Portanto, podemos reescrever as derivadas parciais como:

Resposta

Assim, demonstramos que
partial fpartial x(3x + 1,, 3x - 1) = -partial fpartial y(3x + 1,, 3x - 1)

Exercícios relacionados