Resolver as seguintes equaçòes: (b) . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se . Aqui, e . Calculando as derivadas parciais: Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de . Após alguns cálculos e tentativas, identificamos que multiplicar a equação por irá torná-la exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante encontrado: Agora, a equação é exata, e podemos encontrar uma função tal que:

Passo 5

Integrando em relação a : Agora, derivamos em relação a e igualamos a : Comparando os termos, temos: Integrando em relação a :

Passo 6

Então, a função potencial é: Simplificando e reorganizando os termos, podemos expressar a solução geral da equação diferencial como:

Resposta

A solução geral da equação é .

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