Resolver as seguintes equaçòes:
(b) .
Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de .
Após alguns cálculos e tentativas, identificamos que multiplicar a equação por irá torná-la exata.
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante encontrado:
Agora, a equação é exata, e podemos encontrar uma função tal que:
Passo 5
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a :
Passo 6
Então, a função potencial é:
Simplificando e reorganizando os termos, podemos expressar a solução geral da equação diferencial como:
Resposta
A solução geral da equação é .
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