Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
c d^4y/dx^4 - 16y = 3 sen(2x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem que você me passou:
Esse tipo de equação pertence ao estudo de Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (no caso, ):
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo para :
Então, as raízes são , , , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , , , e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é , e já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar redundância. Assim, tentamos:
Onde e são constantes que iremos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de e substituir na equação diferencial para encontrar e .
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial e igualando os coeficientes, chegamos aos valores de e .

Passo 7

Após realizar os cálculos (que envolvem igualar os coeficientes dos termos semelhantes), encontramos:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , , e são constantes arbitrárias.

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