Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem que você me passou:
Esse tipo de equação pertence ao estudo de Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (no caso, ):
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Resolvendo para
:
Então, as raízes são
,
,
, e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
,
, e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é , e já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar redundância. Assim, tentamos:
Onde
e
são constantes que iremos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de
e substituir na equação diferencial para encontrar
e
.
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial e igualando os coeficientes, chegamos aos valores de
e
.
Passo 7
Após realizar os cálculos (que envolvem igualar os coeficientes dos termos semelhantes), encontramos:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.