Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
(a) d^2y/dx^2 - 2 dy/dx = e^(2x) + 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Factorizando (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica :

Passo 5

Assim, as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito é , que é uma soma de uma função exponencial e uma constante.

Passo 7

Proponho uma forma para . Para o termo , já temos uma solução homogênea associada a , então multiplicamos por para evitar duplicação:
Para o termo constante , vamos supor uma solução particular constante:
Então, a solução particular completa é:

Passo 8

Vamos derivar para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 9

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
O que reduz a:
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa abordagem. Percebi que esquecer de incluir o termo constante .

Passo 10

Vamos reconsiderar a solução particular incluindo :
Substituindo na equação original:
Com , temos:
Simplificando:
Novamente, nada dos termos com aparece, então para lidar com o termo constante, derivamos :
Substituindo:
Ainda não funciona. Então precisamos ajustar a nossa suposição para a solução particular considerando ambos os termos.

Passo 11

Vamos propor a solução particular como:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Novamente, os termos com cancelam, restando:
Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular de . Vamos tentar incluir termos adicionais.

Passo 12

Vamos propor a solução particular como:
E ajustar para incluir um termo constante para balancear o 5. Ao substituir, ainda não conseguimos resolver diretamente, então adotamos:
Para equilibrar o termo constante, devemos ter tal que:
ãí
Portanto, concluímos que não há uma solução particular constante para esse termo, então nossa solução geral permanece:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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