Resolver as seguintes equações diferenciais:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar achar as soluções da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
, então ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, sabemos que as raízes serão complexas. Isso significa que a solução geral da equação diferencial terá termos exponenciais multiplicados por funções trigonométricas (seno e cosseno).
Passo 5
Vamos encontrar as raízes complexas. Com
, temos:
Então, as raízes são:
Passo 6
A solução geral para equações com raízes
é:
No nosso caso,
e
, então substituímos na fórmula.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias que dependerão das condições iniciais.