Resolver as seguintes equações diferenciais:
b) d^2y/dx^2 + 8 dy/dx + 41y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar achar as soluções da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e , então ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, sabemos que as raízes serão complexas. Isso significa que a solução geral da equação diferencial terá termos exponenciais multiplicados por funções trigonométricas (seno e cosseno).

Passo 5

Vamos encontrar as raízes complexas. Com , temos:
Então, as raízes são:

Passo 6

A solução geral para equações com raízes é:
No nosso caso, e , então substituímos na fórmula.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que dependerão das condições iniciais.

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