Resolver as seguintes equações diferenciais:
e d^3y/dx^3 + dy/dx = tan(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial de terceira ordem . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Fatorando, temos:
As raízes são e . Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que pode ser escrito como , vamos usar o método de coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Optando pela variação de parâmetros, sabemos que a solução particular pode ser expressa como:
Onde , e são as soluções da homogênea. Calculamos os coeficientes , e resolvendo um sistema de equações derivado das condições de variação de parâmetros. Após realizar os cálculos, encontramos .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes de integração e é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.

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