Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial de terceira ordem
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Fatorando, temos:
As raízes são
e
. Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, que pode ser escrito como
, vamos usar o método de coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Optando pela variação de parâmetros, sabemos que a solução particular pode ser expressa como:
Onde
,
e
são as soluções da homogênea. Calculamos os coeficientes
,
e
resolvendo um sistema de equações derivado das condições de variação de parâmetros. Após realizar os cálculos, encontramos
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes de integração e
é a solução particular encontrada pelo método de variação de parâmetros.