Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a transformada de Laplace da função definida por partes. Isso significa que vamos usar o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem útil para resolver equações diferenciais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral da transformada de Laplace em duas partes, de acordo com as diferentes definições de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace:
Nossa função é definida de duas maneiras:
Então, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 para o infinito.
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0 a 1, onde :
Para resolver isso, podemos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 1 para o infinito, onde :
Essa é uma integral básica de exponencial:
Resposta
Juntando as duas partes, a transformada de Laplace de é: