Seja L{f(t)} = F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
d f(t) = { t, 0 <= t < 1 ; 1, t >= 1 };

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a transformada de Laplace da função definida por partes. Isso significa que vamos usar o conceito de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem útil para resolver equações diferenciais e sistemas. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral da transformada de Laplace em duas partes, de acordo com as diferentes definições de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace:
Nossa função é definida de duas maneiras:
Então, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 para o infinito.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0 a 1, onde :
Para resolver isso, podemos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 1 para o infinito, onde :
Essa é uma integral básica de exponencial:

Resposta

Juntando as duas partes, a transformada de Laplace de é:

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