Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular da parte não homogênea (o lado direito é
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação para encontrar o valor de
.
Passo 3
Substituindo
:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Então, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar
da equação cúbica.
Passo 5
Fatorando
:
Agora, resolvemos
:
Então, as raízes são
.
Passo 6
Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
,
e
são constantes de integração.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Passo 9
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes:
Isso nos dá:
Resolvendo:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes de integração.