Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
e d^3y/dx^3 + d^2y/dx^2 + dy/dx + y = x e^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular da parte não homogênea (o lado direito é ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação para encontrar o valor de .

Passo 3

Substituindo :
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Então, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar da equação cúbica.

Passo 5

Fatorando :
Agora, resolvemos :
Então, as raízes são .

Passo 6

Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
Onde , e são constantes de integração.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de :

Passo 9

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 10

Igualando os coeficientes:
Isso nos dá:
Resolvendo:

Passo 11

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes de integração.

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