Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Determine a temperatura u(x, t) em uma barra semi-infinita se u(0, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = { 1, 0 < x < 1; 0, x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a temperatura em uma barra semi-infinita usando a transformada de Fourier. A gente precisa entender a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. Aqui, a barra é semi-infinita, ou seja, se estende de até o infinito. As condições que temos são:
  • A temperatura na posição é sempre zero, ou seja, .
  • A temperatura inicial é 1 para e 0 para .
Vamos usar a transformada de Fourier para resolver essa equação e encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor é dada por:
Aqui, é a difusividade térmica. Nosso objetivo é encontrar que satisfaz essa equação, as condições iniciais e de contorno.

Passo 3

Como a barra é semi-infinita e , a gente pode usar a transformada de Fourier do tipo seno, que se encaixa bem nessas condições de contorno. A transformada de Fourier de seno é útil quando a função é zero em um dos limites.
Vamos aplicar a transformada de Fourier de seno na variável . Definimos:

Passo 4

Aplicando a transformada na equação do calor, temos:
Isso porque a transformada da segunda derivada espacial resulta em .

Passo 5

Essa é uma equação diferencial ordinária simples em . Podemos resolver integrando ambos os lados:
Aqui, é a transformada da condição inicial.

Passo 6

Vamos agora calcular a transformada de Fourier de seno da condição inicial :

Passo 7

Substituindo na solução geral, temos:

Passo 8

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier de seno para voltar à função :

Passo 9

Essa integral pode ser resolvida usando tabelas de integrais ou métodos de integração avançados. O resultado final é:

Resposta

A temperatura na barra semi-infinita é dada por:

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