Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Determine a temperatura
em uma barra semi-infinita se
Determine a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a temperatura em uma barra semi-infinita usando a transformada de Fourier. A gente precisa entender a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no tempo e no espaço. Aqui, a barra é semi-infinita, ou seja, se estende de
até o infinito. As condições que temos são:
- A temperatura na posição
é sempre zero, ou seja, . - A temperatura inicial
é 1 para e 0 para .
Vamos usar a transformada de Fourier para resolver essa equação e encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do calor é dada por:
Aqui,
é a difusividade térmica. Nosso objetivo é encontrar
que satisfaz essa equação, as condições iniciais e de contorno.
Passo 3
Como a barra é semi-infinita e
, a gente pode usar a transformada de Fourier do tipo seno, que se encaixa bem nessas condições de contorno. A transformada de Fourier de seno é útil quando a função é zero em um dos limites.
Vamos aplicar a transformada de Fourier de seno na variável
. Definimos:
Passo 4
Aplicando a transformada na equação do calor, temos:
Isso porque a transformada da segunda derivada espacial resulta em
.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial ordinária simples em
. Podemos resolver integrando ambos os lados:
Aqui,
é a transformada da condição inicial.
Passo 6
Vamos agora calcular a transformada de Fourier de seno da condição inicial
:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, temos:
Passo 8
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier de seno para voltar à função
:
Passo 9
Essa integral pode ser resolvida usando tabelas de integrais ou métodos de integração avançados. O resultado final é:
Resposta
A temperatura na barra semi-infinita é dada por: