Resolver as seguintes equações: (2 x cos(y) - e^x) dx - x^2 sen(y) dy = 0. Determinar a solução particular para x = 0.
Resp.: x^2 cos(y) - e^x = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial e encontrar a solução particular quando .
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar uma função tal que:

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode ser uma função de .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à outra equação que temos:
Comparando os dois lados, percebemos que , o que significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 4

Então, a função fica:
Como é constante na solução da equação diferencial, podemos escrever:

Passo 5

Agora, vamos determinar a constante usando a condição particular . Substituindo na equação:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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