Resolver as seguintes equações:
. Determinar a solução particular para
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial e encontrar a solução particular quando
.
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Exata. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar uma função
tal que:
Passo 2
Primeiro, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à outra equação que temos:
Comparando os dois lados, percebemos que
, o que significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 4
Então, a função
fica:
Como
é constante na solução da equação diferencial, podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição particular
. Substituindo
na equação:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Suponha
uma função diferenciável e admita que
Mostre que
Seja
uma função diferenciável em
. Sabendo que
que
, faça o que se pede a seguir.
(a) Calcule .
(a) Calcule
Racionalize o denominador
Racionalize o denominador