Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral x d xraiz1-x+3 x^2.

Passo 1

Vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve cálculo de integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz quadrada. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão 3x^2 - x + 1 . Reorganizando os termos:
3(x^2 - 13x) + 1
Para completar o quadrado, fatoramos o coeficiente de x^2 - 13x = (x - 16)^2 - (16)^2 :
3((x - 16)^2 - 136) + 1 = 3(x - 16)^2 - 112 + 1 = 3(x - 16)^2 + 1112
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral x , dxraiz3(x - 16)^2 + 1112
Fazemos a substituição trigonométrica x = 16 + raiz116 tan theta , ou seja:
dx = raiz116 sec^2 theta , dtheta
Calculamos :

Passo 4

Substituindo na integral:
integral (16 + raiz116 tan theta) cdot raiz116 sec^2 theta , dthetaraiz3 cdot 1136 tan^2 theta + 1112
Simplificando o denominador:
raiz3336 tan^2 theta + 3336 = raiz3336 (tan^2 theta + 1) = raiz3336 sec^2 theta = raiz336 sec theta

Passo 5

A integral simplifica para:
integral (16 + raiz116 tan theta) cdot raiz116 sec^2 thetaraiz336 sec theta , dtheta = integral (16 + raiz116 tan theta) raiz11 sec thetaraiz33 , dtheta
Simplificando os coeficientes:
Então, a integral fica:
raiz11raiz33 cdot 6 = 16 cdot raiz11raiz33 = 16 cdot 1raiz3 = 16raiz3

Passo 6

Agora, separamos a integral:
16raiz3 ( integral sec theta , dtheta + raiz11 integral tan theta sec theta , dtheta )
Calculando cada uma:
integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C
integral tan theta sec theta , dtheta = sec theta + C

Passo 7

Substituindo de volta:
16raiz3 ( ln |sec theta + tan theta| + raiz11 sec theta ) + C
Agora, retornamos à variável . Lembrando que , podemos expressar e em termos de .

Passo 8

Finalmente, substituímos 16raiz3 ln | raiz3(1 - x + 3x^2) + raiz11xraiz3 | + raiz116raiz3 cdot raiz1 - x + 3x^2raiz3 + C e simplificamos para obter a resposta em termos de :

Resposta

A integral 16raiz3 ln | raiz3(1 - x + 3x^2) + raiz11xraiz3 | + raiz116raiz3 raiz1 - x + 3x^2 + C é igual a

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